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あらゆる投資ゲームは、数理科学に還元されることになるか?!(後編)

(承前)
何百年もの間、科学は物事を常に理解可能性の下におくことを前提にしています。そして、構成要素に還元した上でその結びつきを解明することよってのみ理解する要素還元主義によって進歩してきました。

20世紀後半になると、その方法では不十分な問題が出てくることが徐々に明らかになってきました。すなわち、事物を構成する個別の要素に還元した上でその構成要素間の関係を解明するだけではそれら挙動の重要な側面を捉えることができないことがわかってきたということです。大規模な挙動は、それらの協調性とそれらの相互作用のスケールアップによって制御されるという側面が俄かにクローズアップされてきた所以です。

株式市場の暴落を例に挙げましょう。株式市場の暴落は、実務においてはもちろんのこと、学問的にも興味を惹きつける重大な経済事象です。効率的市場仮説(Efficient Market Hypothesis=EMH)を前提とする経済学の教科書では、劇的な情報の暴露だけが暴落を引き起こす可能性を持つわけですが、実際には事後分析したところで、この情報が何であったかについて決定因を探すことは容易ではありません。

トレーダーにとって、暴落の恐怖は永続的なストレス要因であり、一度起これば、世界経済への影響は言うまでもなく、人々の生活までをも一撃で破壊してしまいかねません。

ソネット博士は、株式市場の暴落は瞬間に集まる強力な「地下の力」の緩慢とした蓄積によって引き起こされるという仮説を立てました。株式市場などの複雑なダイナミックなシステムは、通常は正常に動く量が無限大に爆発することとして定義される、いわゆる臨界点を通過する可能性があるということです。非線形なシステムに関する限り、臨界点の存在が例外ではない可能性があります。株式市場の暴落の不可解で暴力的な性質を考えると、関連性があるのではないかというのがソネット博士の見込みです。

ソネット博士は、3つの重要な点を指摘しています。1つ目のポイントは、経済学の理論におけるランドマークとも言うべき合理的期待理論(Rational Expectation Theory)の範囲内にあり、直感的にも魅力的な明確に定義された重要ポイントを示す株式市場の動学モデルを構築することは可能であるという点です。他の試みとは対照的に、合理的期待理論の枠組みを使用することの重要性を強調しています。

どういうことか。株式市場に資本を投じる際、一般的にはランダムに投資するのではなく、限られた量の情報と知識で戦略を最適化しようとするはずです。合理的な行動条件を放棄する理論に向けられる一般的な批判は、考えられる非合理的な行動パターンの状態空間が合理的なパターンの集合よりも遥かに大きいということでした。したがって、非合理性を考慮に入れると、サンプルの予測力がほとんどないアドホックな物語の“パンドラの箱”が開くと主張されることがあるわけです。

当該理論が検討に値すると評価されるためには、当該理論そのものが謙抑的であり(いわゆる“オッカムの剃刀”)、様々な状況での異常パターンの範囲を説明し、新しい経験的意味を付与できなければなりません。

2つ目のポイントは、臨界点を通過するダイナミックなシステムの数学的特性は、想定される特定のモデルとは無関係であり、非臨界的挙動と独立しているという点です。したがって予測は、モデルの仕様ミスに対して比較的堅牢である必要があります。

3つ目のポイントは、これらの予測は、1929年と1987年の米国株式市場の暴落で強く裏付けられています。実際、暴落の何年も前に、危機に瀕した挙動の明確な兆候を特定することができるとソネット博士は主張しています。そして、それらを使用して、システムがクラッシュする日付をサンプルから“予測”し、実現されたクラッシュする日付と密接に一致することを確認してきました。例えば、体系的なテスト手順で、株式市場が12%下落した1962年5月に2週間の間隔で最高潮に達した臨界的挙動の兆候を発見していたというのです。

エージェントの大規模集団が同時に売り注文を出すと、当然クラッシュが発生します。このエージェント集団は、マーケット・メーカーが価格を大幅に下げずに反対側を吸収できないように、オーダーブックに十分な不均衡を作り出す必要があります。面白いことに、このエージェント集団は互いに互いを知らないということです。彼ら彼女らは会議を招集せずして暴落を引き起こすことを“決定”しているかのようです。たいていの場合、これらのエージェントは互いに意見が一致せず、売り注文とほぼ同じ数の買い注文を出しますから、クラッシュが発生しません。

重要な問題は、どのようなメカニズムによって突然調整された売りを「組織」することになったのかということです。世界中のすべてのトレーダーはネットワークに編成されており、このネットワークを介して局所的に相互に影響を及ぼし合っています。具体的には、我々がk人と直接関係している場合、我々の意見に影響を与える力は2つだけです。すなわち、①k人の意見と、②我々が受け取る特異なシグナルです。

ここで一つの作業仮説を立てるとしましょう。エージェントは最も近い隣人の意見を模倣する傾向があり、それらと矛盾しないというものです。①が秩序を生み出す傾向があるのに対し、②は無秩序を生む傾向があります。すなわち、「秩序と無秩序の間の戦い」です。資産価格に関する限り、クラッシュは売り注文が勝った時に発生します。たいていは、買い手と売り手は互いに意見が一致せず、結果的に大まかにバランスが取れます。これは、クラッシュの一般的な特徴づけとは正反対です。

以下の機能を組み合わせたクラッシュのモデルを考えるとします。(1)隣人の影響を受けるノイズ・トレーダーのシステム。(2)大域的協力に自発的に伝播する局所的模倣。(3)クラッシュを引き起こすノイズ・トレーダー間の大域的協力。(4)資産関連価格。(5)システム・パラメータの緩慢な進化。

我々と同じ特性、つまり実数または複素数の臨界指数を使用して、ある臨界日の近くのベキ乗則に従った価格を表示します。このクラスの全てのモデルに共通しているのは、局所的に模倣されたシステムが臨界点を通過した時にクラッシュが発生する可能性が最も高い確率を持つということです。

臨界市場の暴落へのアプローチを説明するために開発されたくりこみ群方程式は、臨界点近傍でのみ有効な近似です。臨界点から離れた場所での挙動をより適切に捉えるために、ソネットは追加の自由度を備えたより一般的な式を提案しました(対数周期成分を導入することと同等のくりこみ群理論のより詳細な分析)。

ソネット博士の議論の主なポイントは、市場が微妙な自己組織化された仕方でクラッシュを予測しているため、株式市場の価格で観察できる先行指標をリリースすることです。これは、市場価格に差し迫ったクラッシュに関する情報が含まれていることを意味します。

要するに、ソネット博士の結果は、“弱い効率的市場仮説”のより弱い形式を示唆していると言えそうです。それに応じて、市場価格には、一般にすべての人が利用できる情報に加えて、ほとんどまたはすべての個々のトレーダーがまだ解読して使用することを学んでいない、グローバル市場によって形成された微妙な情報が含まれています。

トレーダーが市場価格に含まれるすべての情報を意識的に(彼らの行動によって)抽出して組み込むという効率的市場仮説の通常の解釈の代わりに、市場全体が誰にも共有されていない「創発的」行動を示す可能性があります。

クラッシュのために提案されたほとんどの以前のモデルは、非常に短い時間スケールで価格の崩壊を説明するための可能なメカニズムを熟考していました。これとは対照的に、市場の協力性の高まりを反映して、市場価格の漸進的な加速、投機的バブルの中で、クラッシュの根本的な原因を何年も前から調査する必要があることを提案しています。

こうしたソネット博士の“ドラゴンキング”の理論と、本ブログでも盛んに登場するナシーム・ニコラス・タレブ博士の“ブラック・スワン”の考え方とが好対照をなす考えであることは一目瞭然です(両者は面識もあり、個人的な仲は良好とのことらしいですが、「実証的懐疑主義者」を自任するタレブとソネットとの思想は根本的な部分で相容れません)。

両者の考え方について触れている書物にジェームズ・オーエン・ウェザーオール『ウォール街の物理学者』(早川書房)があります。ウェザーオールはカリフォルニア大学アーバイン校で教鞭をとる物理学者・数学者・哲学者でありながら、本書のように一般向けのポピュラー・サイエンス本の著者として人気を博しています(ちなみにウェザーオールは、タレブよりもソネット寄りの考えに共感しています)。

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